सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात कीजिए।

दिया गया है $\vec{a}=3 \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow{b_2}$,जहाँ $\overrightarrow{b_1}$,$\vec{a}$ के समांतर है और $\overrightarrow{b_2}$,$\vec{a}$ के लंबवत है,तो $\overrightarrow{b_2}$ किसके बराबर है?

एक समतल में, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ क्रमशः दो बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं। स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाला एक बिंदु $P$ उस समतल में इस प्रकार गति करता है कि $|\vec{r}-\vec{a}| - |\vec{r}-\vec{b}| = c$ (जहाँ $c$ एक वास्तविक स्थिरांक है)। $P$ का बिंदुपथ एक शांकव है जिसकी उत्केंद्रता है:

मान लीजिए $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$b = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,और $c = 5\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ तीन सदिश हैं। उन बिंदुओं के समुच्चय द्वारा निर्मित क्षेत्र का क्षेत्रफल,जिनके स्थिति सदिश $\vec{r}$ समीकरणों $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ और $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ को संतुष्ट करते हैं,किस पूर्णांक के सबसे निकट है?

मान लीजिए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=\sqrt{14}$,$|\vec{b}|=\sqrt{6}$ और $|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{48}$ है। तब $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ का मान $...........$ है।

यदि $\Delta ABC$ में,$O$ और $O^{\prime}$ क्रमशः अंतःकेंद्र (incentre) और लंबकेंद्र (orthocentre) हैं,तो $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C}$ किसके बराबर है?