समतलों x+y+z=1 और 2x+3y+4z=5 के प्रतिच्छेदन र | vedclass

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Question

(A) समतलों $x+y+z-1=0$ और $2x+3y+4z-5=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण:$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$$(1+2\lambda)x + (1+3\la

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$x-z+2=0$

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(A) समतलों $x+y+z-1=0$ और $2x+3y+4z-5=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण:$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ ... $(1)$इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ है।यह समतल,समतल $x-y+z=0$ पर लंब है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}$ है।चूंकि समतल लंबवत हैं,उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$:$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$$1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$$3\lambda + 1 = 0$$\lambda = -\frac{1}{3}$$\lambda = -\frac{1}{3}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:$(1+2(-\frac{1}{3}))x + (1+3(-\frac{1}{3}))y + (1+4(-\frac{1}{3}))z - (1+5(-\frac{1}{3})) = 0$$(\frac{1}{3})x + (0)y + (-\frac{1}{3})z - (-\frac{2}{3}) = 0$$\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$$3$ से गुणा करने पर,हमें $x-z+2=0$ प्राप्त होता है।

समतलों $x+y+z=1$ और $2x+3y+4z=5$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और समतल $x-y+z=0$ पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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$x + y + z = 1$ और $2x + 3y - z + 4 = 0$ समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें समतल $2x + 3y + 5z = 1$ बिंदुओं $(1, 0, -3)$ और $(1, -5, 7)$ को जोड़ने वाली रेखा को विभाजित करता है।

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $x - y + 2z = 5$ तथा $3x + y + z = 6$ समतलों के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक समतल $P$,रेखा $x+2y+3z+1=0=x-y-z-6$ को समाहित करता है और समतल $-2x+y+z+8=0$ के लंबवत है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $P$ पर स्थित है?

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