उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x) = x^{2} + 2x - 5$ निरंतर वर्धमान या निरंतर ह्रासमान है।

हमारे पास है,$f(x) = x^{2} + 2x - 5$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 5) = 2x + 2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखिए:
$2x + 2 = 0 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.
बिंदु $x = -1$ वास्तविक संख्या रेखा को दो अलग-अलग अंतरालों में विभाजित करता है: $(-\infty, -1)$ और $(-1, \infty)$.
स्थिति $1$: अंतराल $(-\infty, -1)$ में,एक परीक्षण बिंदु लीजिए,मान लीजिए $x = -2$.
$f'(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$.
चूंकि सभी $x \in (-\infty, -1)$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $(-\infty, -1)$ में निरंतर ह्रासमान है।
स्थिति $2$: अंतराल $(-1, \infty)$ में,एक परीक्षण बिंदु लीजिए,मान लीजिए $x = 0$.
$f'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0$.
चूंकि सभी $x \in (-1, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $(-1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।
निष्कर्ष: फलन $(-\infty, -1)$ पर निरंतर ह्रासमान है और $(-1, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।