वक्र $x^2+2 \sqrt{3} xy - y^2 = 8$ का रूपांतरित समीकरण ज्ञात कीजिए,जब अक्षों को $\frac{\pi}{3}$ कोण से घुमाया जाता है।

यदि बिंदु $P(1,3)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है:
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन।
(ii) $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण।
(iii) मूल बिंदु के परितः घड़ी की दिशा में $\frac{\pi}{6}$ कोण पर घूर्णन।
तो,बिंदु $P$ की अंतिम स्थिति है:

यदि मूल बिंदु को $(1, -2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है और अक्षों को $30^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो $(1, 1)$ के नए निर्देशांक क्या होंगे?

यदि अक्षों को $45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो नई प्रणाली में बिंदु $(2 \sqrt{2}, -3 \sqrt{2})$ के निर्देशांक क्या होंगे?

जब मूल बिंदु को निर्देशांक अक्षों के स्थानांतरण द्वारा $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है,तो $32 x^2+8 x y+32 y^2-108 x-108 y+99=0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

यदि मूल बिंदु को स्थिर रखते हुए अक्षों को $30^{\circ}$ के कोण पर ऋणात्मक दिशा (घड़ी की दिशा) में घुमाया जाता है,तो बिंदु $(2, 1)$ के नए निर्देशांक क्या होंगे?