निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म के लिए $k$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि निकाय का कोई हल न हो:
$2x - ky + 3 = 0$
$3x + 2y - 1 = 0$

निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी भी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए। एक भिन्न $\frac{1}{3}$ हो जाती है जब उसके अंश से $1$ घटाया जाता है और वह $\frac{1}{4}$ हो जाती है जब उसके हर में $8$ जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित समीकरण युग्मों को वज्र-गुणन विधि द्वारा हल कीजिए:
$4x - 19y + 13 = 0$
$13x - 23y + 19 = 0$

एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई की डेढ़ गुनी है। यदि आयत का परिमाप $100 \,cm$ है, तो आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

दो वर्ष पहले,माता,पिता और दो पुत्रियों की आयु का योग $40$ वर्ष था। तीन वर्ष बाद उनकी आयु का योग क्या होगा?

दो अंकों की एक संख्या,अंकों के योग को $8$ से गुणा करके $1$ जोड़ने पर या अंकों के अंतर को $13$ से गुणा करके $2$ जोड़ने पर प्राप्त होती है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।