n in N के लिए,मान लीजिए P_n = int_1^e (ln x)^ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(\ln

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$-9e$

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(B) दिया गया है $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $P_n = [x(\ln x)^n]_1^e - \int_1^e x \cdot n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$। $P_n = e(1)^n - 0 - n \int_1^e (\ln x)^{n-1} dx$। $P_n = e - n P_{n-1}$। अब,हमें $P_{10} - 90P_8$ का मान ज्ञात करना है। पुनरावृत्ति संबंध (recurrence relation) से: $P_{10} = e - 10P_9$। $P_9 = e - 9P_8$। $P_{10}$ के समीकरण में $P_9$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $P_{10} = e - 10(e - 9P_8)$। $P_{10} = e - 10e + 90P_8$। $P_{10} = -9e + 90P_8$। अतः,$P_{10} - 90P_8 = -9e$।

$n \in N$ के लिए,मान लीजिए $P_n = \int_1^e (\ln x)^n dx$ है। तो $(P_{10} - 90P_8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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