x in R માટે,ધારો કે y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x^2-5 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ છે.$(x^2-5)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2-5} y = -2x(x^2-5)$ મળે છ

Vedclass · Accepted Answer

$16$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ છે.$(x^2-5)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2-5} y = -2x(x^2-5)$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2x}{x^2-5}$ અને $Q(x) = -2x(x^2-5)$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{2x}{x^2-5} dx} = e^{-\ln|x^2-5|} = \frac{1}{x^2-5}$ છે.ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.$y \cdot \frac{1}{x^2-5} = \int -2x(x^2-5) \cdot \frac{1}{x^2-5} dx + c$.$\frac{y}{x^2-5} = \int -2x dx + c = -x^2 + c$.$y(2) = 7$ આપેલ હોવાથી,$\frac{7}{2^2-5} = -2^2 + c \Rightarrow \frac{7}{-1} = -4 + c \Rightarrow c = -3$ મળે છે.તેથી,$\frac{y}{x^2-5} = -x^2 - 3$,જેનો અર્થ છે કે $y = -(x^2-5)(x^2+3) = -x^4 + 2x^2 + 15$.મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,ધારો કે $t = x^2$ જ્યાં $t \ge 0$ છે. તો $y = -t^2 + 2t + 15$.આ એક નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$ પર છે.$t=1$ એ પ્રદેશ $t \ge 0$ માં હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16$ છે.

$x \in R$ માટે,ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=7$ છે. $y(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y=\sin(2x)$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0)=\frac{3}{4}$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$ ની કિંમત શોધો:

$\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x \neq 0$.

વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x \rightarrow \infty$ ત્યારે $y \rightarrow -1$ થાય છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module