x0 के लिए, समाकलन int left( frac{sqrt{1+x+x^ | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{1+x} + \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} - \frac{1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx$. पहले और तीसरे पद को सं

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$\sqrt{x^2+x+1}+C$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{1+x} + \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} - \frac{1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx$. पहले और तीसरे पद को संयोजित करने पर: $I = \int \left( \frac{1+x+x^2-1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$. अंश को सरल करने पर: $I = \int \frac{x(1+x)}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$. पहले समाकलन को $2$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \int \frac{2x}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1-1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$. समाकलन को अलग करने पर: $I = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx - \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$. माना $t = x^2+x+1$, तब $dt = (2x+1) dx$. $I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+x+1} + C$.

$x>0$ के लिए, समाकलन $\int \left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{1+x} + \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} - \frac{1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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