int frac{d x}{x^2left(x^4+1right)^{frac{3}{4} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{d x}{x^2\left(x^4+1\right)^{\frac{3}{4}}}$.कोष्ठक के अंदर के पद से $x^4$ कॉमन लेने पर:$I = \int \frac{d x}{x^2 \left[x^4 \lef

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$\frac{-\left(x^4+1\right)^{\frac{1}{4}}}{x}+c$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{d x}{x^2\left(x^4+1\right)^{\frac{3}{4}}}$.कोष्ठक के अंदर के पद से $x^4$ कॉमन लेने पर:$I = \int \frac{d x}{x^2 \left[x^4 \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)\right]^{\frac{3}{4}}} = \int \frac{d x}{x^2 \cdot x^3 \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{\frac{3}{4}}} = \int \frac{d x}{x^5 \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{\frac{3}{4}}}$.माना $1 + \frac{1}{x^4} = t$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$-\frac{4}{x^5} dx = dt \Rightarrow \frac{dx}{x^5} = -\frac{dt}{4}$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{-\frac{3}{4}} \frac{dx}{x^5} = \int t^{-\frac{3}{4}} \left(-\frac{dt}{4}\right) = -\frac{1}{4} \int t^{-\frac{3}{4}} dt$.$I = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{-\frac{3}{4} + 1}}{-\frac{3}{4} + 1} \right] + c = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} \right] + c = -t^{\frac{1}{4}} + c$.$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ वापस रखने पर:$I = -\left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{\frac{1}{4}} + c = -\left(\frac{x^4 + 1}{x^4}\right)^{\frac{1}{4}} + c = -\frac{\left(x^4 + 1\right)^{\frac{1}{4}}}{x} + c$.

$\int \frac{d x}{x^2\left(x^4+1\right)^{\frac{3}{4}}}$ का मान है

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कथन $(A)$: यदि $I_n = \int \cot^n x \, dx$ है,तो $I_6 + I_4 = \frac{-\cot^5 x}{5}$ होगा।
कारण $(R)$: $\int \cot^n x \, dx = \frac{-\cot^{n-1} x}{n-1} - \int \cot^{n-2} x \, dx$.

$\int \frac{3 \sin x+5 \cos x+4}{\sin x+\cos x+2} d x=$

$\int \frac{f(x) \varphi^{\prime}(x)+\varphi(x) f^{\prime}(x)}{(f(x) \varphi(x)+1) \sqrt{f(x) \varphi(x)-1}} dx=$

फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

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