फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

हमें समाकलन ज्ञात करना है: $\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx$
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx$ ............ $(1)$
प्रथम भाग के लिए,मान लीजिए $I_1 = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} dx$.
माना $x^{2}-1 = t$,तब $2x dx = dt$,या $x dx = \frac{1}{2} dt$.
$I_1 = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot 2t^{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{x^{2}-1}$.
दूसरे भाग के लिए,हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$.
यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2}-1}|$.
इन परिणामों को $(1)$ में रखने पर:
$\int \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}} dx = \sqrt{x^{2}-1} - \log |x + \sqrt{x^{2}-1}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।