यदि int frac{sin ^{frac{3}{2}} x+cos ^{frac{3 | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-	heta)}} d x$. $\sin(x-	heta) = \sin x \cos

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$8 \operatorname{cosec}(2 	heta)$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-	heta)}} d x$. $\sin(x-	heta) = \sin x \cos 	heta - \cos x \sin 	heta$ का विस्तार करने पर: $I = \int \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos 	heta - \cos x \sin 	heta}} dx + \int \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos 	heta - \cos x \sin 	heta}} dx$. अंश और हर को क्रमशः $\cos^3 x$ और $\sin^3 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{	an x \cos 	heta - \sin 	heta}} dx + \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sqrt{\cos 	heta - \cot x \sin 	heta}} dx$. प्रथम समाकलन के लिए,$t^2 = 	an x \cos 	heta - \sin 	heta$ लें,तो $2t dt = \cos 	heta \sec^2 x dx \implies \sec^2 x dx = \frac{2t dt}{\cos 	heta}$. द्वितीय समाकलन के लिए,$z^2 = \cos 	heta - \cot x \sin 	heta$ लें,तो $2z dz = \operatorname{cosec}^2 x \sin 	heta dx \implies \operatorname{cosec}^2 x dx = \frac{2z dz}{\sin 	heta}$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{2t dt}{t \cos 	heta} + \int \frac{2z dz}{z \sin 	heta} = \frac{2t}{\cos 	heta} + \frac{2z}{\sin 	heta} + C$. $I = 2 \sec 	heta \sqrt{	an x \cos 	heta - \sin 	heta} + 2 \operatorname{cosec} 	heta \sqrt{\cos 	heta - \cot x \sin 	heta} + C$. $A \sqrt{\cos 	heta 	an x - \sin 	heta} + B \sqrt{\cos 	heta - \cot x \sin 	heta} + C$ से तुलना करने पर,$A = 2 \sec 	heta$ और $B = 2 \operatorname{cosec} 	heta$ प्राप्त होता है। अतः,$AB = (2 \sec 	heta)(2 \operatorname{cosec} 	heta) = 4 \frac{1}{\cos 	heta \sin 	heta} = 8 \frac{1}{2 \sin 	heta \cos 	heta} = 8 \operatorname{cosec}(2 	heta)$.

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