कथन (A): यदि I_n = int cot^n x , dx है,तो I_6 | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I_n = \int \cot^n x \, dx$ पर विचार करें।हम इसे $I_n = \int \cot^{n-2} x \cdot \cot^2 x \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $\cot^2 x

Vedclass · Accepted Answer

$A$ सही है,$R$ गलत है

Vedclass · Answer

(C) समाकलन $I_n = \int \cot^n x \, dx$ पर विचार करें।हम इसे $I_n = \int \cot^{n-2} x \cdot \cot^2 x \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:$I_n = \int \cot^{n-2} x (\csc^2 x - 1) \, dx = \int \cot^{n-2} x \csc^2 x \, dx - \int \cot^{n-2} x \, dx$.पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = \cot x$,तो $du = -\csc^2 x \, dx$,इसलिए $\csc^2 x \, dx = -du$.अतः,$\int \cot^{n-2} x \csc^2 x \, dx = -\int u^{n-2} \, du = -\frac{u^{n-1}}{n-1} = \frac{-\cot^{n-1} x}{n-1}$.इसलिए,रिडक्शन सूत्र $I_n = \frac{-\cot^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$ है।कारण $(R)$ से तुलना करने पर,उसमें हर में $n$ है जबकि सही सूत्र में $n-1$ है,इसलिए $(R)$ गलत है।कथन $(A)$ के लिए,$n=6$ रखने पर:$I_6 = \frac{-\cot^5 x}{5} - I_4 \implies I_6 + I_4 = \frac{-\cot^5 x}{5}$.अतः,कथन $(A)$ सही है और कारण $(R)$ गलत है।

कथन $(A)$: यदि $I_n = \int \cot^n x \, dx$ है,तो $I_6 + I_4 = \frac{-\cot^5 x}{5}$ होगा।
कारण $(R)$: $\int \cot^n x \, dx = \frac{-\cot^{n-1} x}{n-1} - \int \cot^{n-2} x \, dx$.

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