मान लीजिए I=int frac{e^x}{e^{4 x}+e^{2 x}+1} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $J = \int \frac{e^{-x}}{e^{-4x} + e^{-2x} + 1} dx$। अंश और हर को $e^{4x}$ से गुणा करने पर,हमें $J = \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{2x} + e^

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$\frac{1}{2} \log \left(\frac{e^{2 x}-e^x+1}{e^{2 x}+e^x+1}\right)+C$

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(C) दिया गया है $J = \int \frac{e^{-x}}{e^{-4x} + e^{-2x} + 1} dx$। अंश और हर को $e^{4x}$ से गुणा करने पर,हमें $J = \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{2x} + e^{4x}} dx$ प्राप्त होता है।अब,$J - I = \int \frac{e^{3x} - e^x}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx = \int \frac{e^x(e^{2x} - 1)}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx$।मान लीजिए $z = e^x$,तो $dz = e^x dx$। समाकलन $\int \frac{z^2 - 1}{z^4 + z^2 + 1} dz$ बन जाता है।अंश और हर को $z^2$ से विभाजित करने पर: $\int \frac{1 - 1/z^2}{z^2 + 1 + 1/z^2} dz = \int \frac{1 - 1/z^2}{(z + 1/z)^2 - 1} dz$।मान लीजिए $u = z + 1/z$,तो $du = (1 - 1/z^2) dz$। समाकलन $\int \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + C$ बन जाता है।$u = e^x + e^{-x}$ वापस रखने पर: $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x + e^{-x} - 1}{e^x + e^{-x} + 1} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{e^{2x} - e^x + 1}{e^{2x} + e^x + 1} \right) + C$।

मान लीजिए $I=\int \frac{e^x}{e^{4 x}+e^{2 x}+1} d x$ और $J=\int \frac{e^{-x}}{e^{-4 x}+e^{-2 x}+1} d x$ है। तब,एक स्वेच्छ अचर $C$ के लिए,$J-I$ का मान क्या होगा?

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