एक स्टीमर के लिए,पेट्रोल की खपत (प्रति घंटा) उसकी गति के घन (in $km/hr$) के समानुपाती होती है। यदि धारा की गति $C \, km/hr$ पर स्थिर है,तो धारा के विपरीत जाने वाली स्टीमर की सबसे किफायती गति ........... $C$ होगी।

मान लीजिए $f$ एक फलन है जो $R$ (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) पर परिभाषित है,इस प्रकार कि $f^{\prime}(x)=2010(x-2009)(x-2010)^2(x-2011)^3(x-2012)^4$ सभी $x \in R$ के लिए। यदि $g$ एक फलन है जो $R$ पर परिभाषित है और जिसके मान अंतराल $(0, \infty)$ में हैं,इस प्रकार कि $f(x)=\ln(g(x))$ सभी $x \in R$ के लिए,तो $R$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $g$ का स्थानीय उच्चतम मान है,क्या है?

मान लीजिए $f(x) = (x^2 - 1)^n (x^2 + x + 1)$,तो $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय चरम मान (local extremum) कब होगा?

${\left( {\frac{1}{x}} \right)^{2{x^2}}}$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$20 \ m$ लंबाई के एक तार को दो टुकड़ों में काटा जाता है। $\ell_1$ लंबाई के टुकड़े को मोड़कर $A_1$ क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाया जाता है और $\ell_2$ लंबाई के दूसरे टुकड़े से $A_2$ क्षेत्रफल का एक वृत्त बनाया जाता है। यदि $2A_1 + 3A_2$ न्यूनतम है,तो $(\pi \ell_1) : \ell_2$ का मान क्या होगा?

यदि वास्तविक रेखा $R$ पर परिभाषित एक सतत फलन $f$,$R$ में धनात्मक और ऋणात्मक मान ग्रहण करता है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है। उदाहरण के लिए,यदि यह ज्ञात हो कि $R$ पर एक सतत फलन $f$ किसी बिंदु पर धनात्मक है और इसका न्यूनतम मान ऋणात्मक है,तो समीकरण $f(x)=0$ का $R$ में एक मूल होता है।
सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=k e^x-x$ पर विचार करें,जहाँ $k$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
$1.$ रेखा $y=x$,$k \leq 0$ के लिए $y=k e^x$ से कहाँ मिलती है?
$(A)$ किसी बिंदु पर नहीं $(B)$ एक बिंदु पर $(C)$ दो बिंदुओं पर $(D)$ दो से अधिक बिंदुओं पर
$2.$ $k$ का धनात्मक मान जिसके लिए $k e^x-x=0$ का केवल एक मूल है,वह है
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ के लिए,$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $k e^x-x=0$ के दो भिन्न मूल हैं,वह है
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।