एक त्रिभुज $ABC$ के लिए, मान लीजिए $\vec{p}=\vec{BC}$, $\vec{q}=\vec{CA}$ और $\vec{r}=\vec{BA}$ है। यदि $|\vec{p}|=2\sqrt{3}$, $|\vec{q}|=2$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, जहाँ $\theta$, $\vec{p}$ और $\vec{q}$ के बीच का कोण है, तो $|\vec{p} \times (\vec{q}-3\vec{r})|^{2}+3|\vec{r}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि सदिश $a$ और $b$ परस्पर लंबवत हैं,तो $a \times \{ a \times \{ a \times (a \times b)\} \}$ किसके बराबर है?

यदि $\overline{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\overline{OB} = 4\hat{i} + \hat{k}$ बिंदु $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं, तो $B$ से गुजरने वाली और सदिश $\overline{OA} \times \overline{OB}$ के समांतर रेखा पर स्थित उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो $B$ से $\sqrt{189}$ इकाई की दूरी पर है।

एक शून्येतर सदिश $\vec{a}$, सदिशों $\hat{i}$ और $\hat{i}+\hat{j}$ द्वारा निर्धारित समतल और सदिशों $\hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है। $\vec{a}$ और $(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})$ के बीच का कोण है

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ एक त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $QR, RP, PQ$ की दिशाओं में तीन इकाई सदिश हैं।
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ ज्ञात कीजिए।
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ यदि त्रिभुज $PQR$ बदलता है,तो $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही विकल्प चुनें।

किन्हीं तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिए,$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} + \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b})$ का मान क्या होगा?