બધા $n \in \mathbb{N}$ માટે,જો $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 > x$ હોય,તો $x=$

ધારો કે $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020)+2n^3+3n^2+n}{6}$,તમામ $n \in N$ માટે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સંખ્યાઓ $a_n$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$.
તો,$a_n$ ની કિંમત શું થાય?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$

સાબિત કરો કે $2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \geq 2$ માટે $n^{3}-n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.