સાબિત કરો કે $2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે વિધાન $P(n)$ આ મુજબ છે: $P(n): 2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$2 \cdot 7^{1} + 3 \cdot 5^{1} - 5 = 14 + 15 - 5 = 24$,જે $24$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $2 \cdot 7^{k} + 3 \cdot 5^{k} - 5 = 24q$,જ્યાં $q \in N$. આથી $2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
$2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5 = 7(2 \cdot 7^{k}) + 15 \cdot 5^{k} - 5$ લો.
$2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$ મૂકતા:
$= 7(24q - 3 \cdot 5^{k} + 5) + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 21 \cdot 5^{k} + 35 + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 6 \cdot 5^{k} + 30$
$= 168q - 6(5^{k} - 5)$.
$5^{k} - 5$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,$5^{k} - 5 = 4m$ લેતા:
$= 168q - 6(4m) = 168q - 24m = 24(7q - m)$,જે $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.