બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે તમામ $n \in N$ માટે $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

ધારો કે $P(n) : 3^n < n!$ એ $n \in N$ માટે $n \geq \lambda$ માટે સત્ય છે. $\lambda$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$

નીચેના ચાર વિધાનોમાંથી,કયું વિધાન તમામ $n \in N$ માટે સાચું નથી?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$