किसी भी y in R के लिए,मान लीजिए cot ^{-1}(y) | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}ight)=\frac{2 \pi}{3}$.
मान लीजिए $x = \frac{6y}{9-

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$4 \sqrt{3}-6$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण: $ an ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2} ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y} ight)=\frac{2 \pi}{3}$. मान लीजिए $x = \frac{6y}{9-y^2}$ है। तो समीकरण $ an^{-1}(x) + \cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \frac{2\pi}{3}$ बन जाता है। स्थिति-$I$: यदि $x > 0$ है,तो $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = an^{-1}(x)$ होता है। अतः,$2 an^{-1}(x) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow an^{-1}(x) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. $\frac{6y}{9-y^2} = \sqrt{3} \Rightarrow 6y = 9\sqrt{3} - \sqrt{3}y^2 \Rightarrow \sqrt{3}y^2 + 6y - 9\sqrt{3} = 0 \Rightarrow y^2 + 2\sqrt{3}y - 9 = 0$. $y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{12} = -\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}$. चूंकि $x > 0$ है,हमारे पास $y > 0$ है ($y \in (0, 3)$ के लिए),इसलिए $y = \sqrt{3}$. स्थिति-$II$: यदि $x < 0$ है,तो $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \pi + an^{-1}(x)$ होता है। अतः,$2 an^{-1}(x) + \pi = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow 2 an^{-1}(x) = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow an^{-1}(x) = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. $\frac{6y}{9-y^2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 6\sqrt{3}y = -9 + y^2 \Rightarrow y^2 - 6\sqrt{3}y - 9 = 0$. $y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{108 + 36}}{2} = 3\sqrt{3} \pm \sqrt{36} = 3\sqrt{3} \pm 6$. चूंकि $x < 0$ है,हमारे पास $y \in (-3, 0)$ है,इसलिए $y = 3\sqrt{3} - 6$. हलों का योग = $\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6 = 4\sqrt{3} - 6$.

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