किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए,S_n: (0, in | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $S_n(x) = \sum_{k=1}^n 	an^{-1}\left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}ight)$ है।सर्वसमिका $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1}\left(\frac{A-B}{

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$A, B$

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(C) हमारे पास $S_n(x) = \sum_{k=1}^n 	an^{-1}\left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}ight)$ है।सर्वसमिका $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}ight)$ का उपयोग करके,हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:$	an^{-1}\left(\frac{(k+1)x - kx}{1 + ((k+1)x)(kx)}ight) = 	an^{-1}((k+1)x) - 	an^{-1}(kx)$.$k=1$ से $n$ तक योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:$S_n(x) = (	an^{-1}(2x) - 	an^{-1}(x)) + (	an^{-1}(3x) - 	an^{-1}(2x)) + \dots + (	an^{-1}((n+1)x) - 	an^{-1}(nx))$$S_n(x) = 	an^{-1}((n+1)x) - 	an^{-1}(x) = 	an^{-1}\left(\frac{(n+1)x - x}{1 + (n+1)x^2}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{nx}{1+(n+1)x^2}ight)$.$(A)$ $n=10$ के लिए,$S_{10}(x) = 	an^{-1}\left(\frac{10x}{1+11x^2}ight)$. चूँकि $y > 0$ के लिए $	an^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(1/y)$,इसलिए $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}ight)$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।$(B)$ $\cot(S_n(x)) = \frac{1}{	an(S_n(x))} = \frac{1+(n+1)x^2}{nx} = \frac{1}{nx} + \frac{n+1}{n}x$. जैसे $n ightarrow \infty$,$\cot(S_n(x)) ightarrow 0 + 1 \cdot x = x$. अतः,$(B)$ $TRUE$ है।$(C)$ $S_3(x) = 	an^{-1}\left(\frac{3x}{1+4x^2}ight) = \frac{\pi}{4} \implies \frac{3x}{1+4x^2} = 1 \implies 4x^2 - 3x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7 $(D)$ मान लीजिए $f(x) = 	an(S_n(x)) = \frac{nx}{1+(n+1)x^2}$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = \frac{n(1+(n+1)x^2) - nx(2(n+1)x)}{(1+(n+1)x^2)^2} = \frac{n - n(n+1)x^2}{(1+(n+1)x^2)^2}$. $f'(x)=0$ रखने पर,$x^2 = \frac{1}{n+1}$,इसलिए $x = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. अधिकतम मान $f\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}ight) = \frac{n/\sqrt{n+1}}{1+(n+1)/(n+1)} = \frac{n}{2\sqrt{n+1}}$ है। $n=3$ के लिए,मान $3/(2\sqrt{4}) = 3/4 > 1/2$ है। अतः,$(D)$ $FALSE$ है।

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