કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે,ધારો કે [x] એ x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f(x)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:$f(x) = x - [x]$ જો $[x]$ એકી હોય,અને $f(x) = 1 + [x] - x$ જો $[x]$ બેકી હોય.$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ (

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f(x)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:$f(x) = x - [x]$ જો $[x]$ એકી હોય,અને $f(x) = 1 + [x] - x$ જો $[x]$ બેકી હોય.$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ (બેકી),તેથી $f(x) = 1 + 0 - x = 1 - x$.$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$ (એકી),તેથી $f(x) = x - 1$.આ વિધેય $T = 2$ આવર્તકાળ સાથેનું આવર્તી વિધેય છે.ધારો કે $I = \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) \, dx$.$f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે $(f(-x) = f(x))$ અને $\cos(\pi x)$ પણ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર યુગ્મ વિધેય થાય.$I = 2 \int_{0}^{10} f(x) \cos(\pi x) \, dx = 2 	imes 5 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) \, dx = 10 \left[ \int_{0}^{1} (1-x) \cos(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} (x-1) \cos(\pi x) \, dx ight]$.ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{1} (1-x) \cos(\pi x) \, dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_1 = \left[ (1-x) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} ight]_0^1 - \int_{0}^{1} (-1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \, dx = 0 + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} ight]_0^1 = -\frac{1}{\pi^2} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi^2}$.ધારો કે $I_2 = \int_{1}^{2} (x-1) \cos(\pi x) \, dx$. ધારો કે $t = x-1$,તો $dt = dx$:$I_2 = \int_{0}^{1} t \cos(\pi(t+1)) \, dt = \int_{0}^{1} t \cos(\pi t + \pi) \, dt = -\int_{0}^{1} t \cos(\pi t) \, dt$.$\int t \cos(\pi t) \, dt = \frac{t \sin(\pi t)}{\pi} + \frac{\cos(\pi t)}{\pi^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = -\left[ \frac{t \sin(\pi t)}{\pi} + \frac{\cos(\pi t)}{\pi^2} ight]_0^1 = -\left( 0 + \frac{-1}{\pi^2} - (0 + \frac{1}{\pi^2}) ight) = \frac{2}{\pi^2}$.આમ,$I = 10 \left( \frac{2}{\pi^2} + \frac{2}{\pi^2} ight) = \frac{40}{\pi^2}$.છેલ્લે,$\frac{\pi^2}{10} I = \frac{\pi^2}{10} 	imes \frac{40}{\pi^2} = 4$.

Similar Questions

$\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{1 + \tan x + \sqrt{1 + \tan^2 x}} \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

સંકલન $\sum\limits_{k = 1}^n {\int_0^1 {f(k - 1 + x)\,dx} } $ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. તો $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} \right) dx$ ની કિંમત શોધો:

સંકલન $\int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left\{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2\right\}^{1 / 2} d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module