નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Z^+$ પર,$a ^* b = 2^{ab}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.

(A) $Z^+$ પર,$^*$ ક્રિયા $a ^* b = 2^{ab}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે:
આપણે ચકાસીએ કે શું તમામ $a, b \in Z^+$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થાય છે.
$a ^* b = 2^{ab}$
$b ^* a = 2^{ba}$
કારણ કે તમામ $a, b \in Z^+$ માટે $ab = ba$ થાય છે,તેથી $2^{ab} = 2^{ba}$ થાય.
આમ,$a ^* b = b ^* a$.
તેથી,$^*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે:
આપણે ચકાસીએ કે શું તમામ $a, b, c \in Z^+$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ થાય છે.
ધારો કે $a=1, b=2, c=3$:
$(1 ^* 2) ^* 3 = (2^{1 \times 2}) ^* 3 = 4 ^* 3 = 2^{4 \times 3} = 2^{12} = 4096$.
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2^{2 \times 3}) = 1 ^* 2^6 = 1 ^* 64 = 2^{1 \times 64} = 2^{64}$.
કારણ કે $2^{12} \neq 2^{64}$,તેથી આ ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.