नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित कीजिए कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Z^+$ पर,$a ^* b = 2^{ab}$ परिभाषित है।

(A) $Z^+$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = 2^{ab}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता के लिए:
हम जांचते हैं कि क्या सभी $a, b \in Z^+$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ है।
$a ^* b = 2^{ab}$
$b ^* a = 2^{ba}$
चूंकि सभी $a, b \in Z^+$ के लिए $ab = ba$ होता है,इसलिए $2^{ab} = 2^{ba}$ होगा।
अतः,$a ^* b = b ^* a$ है।
इसलिए,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता के लिए:
हम जांचते हैं कि क्या सभी $a, b, c \in Z^+$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ है।
मान लीजिए $a=1, b=2, c=3$:
$(1 ^* 2) ^* 3 = (2^{1 \times 2}) ^* 3 = 4 ^* 3 = 2^{4 \times 3} = 2^{12} = 4096$.
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2^{2 \times 3}) = 1 ^* 2^6 = 1 ^* 64 = 2^{1 \times 64} = 2^{64}$.
चूंकि $2^{12} \neq 2^{64}$,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।