નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ ક્રિયા $^*$ માટે,નક્કી કરો કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે કે જૂથનો ગુણધર્મ. $Z^+$ પર,$a ^* b = a^b$ વ્યાખ્યાયિત કરો.

(NONE) $Z^+$ પર,ક્રિયા $^*$ એ $a ^* b = a^b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો ગુણધર્મ:
આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b \in Z^+$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થાય છે.
$a = 1$ અને $b = 2$ લો.
$1 ^* 2 = 1^2 = 1$
$2 ^* 1 = 2^1 = 2$
$1 \neq 2$ હોવાથી,$1 ^* 2 \neq 2 ^* 1$.
તેથી,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.
$2$. જૂથનો ગુણધર્મ:
આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b, c \in Z^+$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ થાય છે.
$a = 2, b = 3, c = 4$ લો.
$(2 ^* 3) ^* 4 = (2^3) ^* 4 = 8 ^* 4 = 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$.
$2 ^* (3 ^* 4) = 2 ^* (3^4) = 2 ^* 81 = 2^{81}$.
$2^{12} \neq 2^{81}$ હોવાથી,$(2 ^* 3) ^* 4 \neq 2 ^* (3 ^* 4)$.
તેથી,ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.