नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Z^+$ पर,$a ^* b = a^b$ परिभाषित करें।

(NONE) $Z^+$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = a^b$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$1$. क्रमविनिमेयता:
हम जाँचते हैं कि क्या सभी $a, b \in Z^+$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ है।
$a = 1$ और $b = 2$ लें।
$1 ^* 2 = 1^2 = 1$
$2 ^* 1 = 2^1 = 2$
चूँकि $1 \neq 2$,इसलिए $1 ^* 2 \neq 2 ^* 1$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$2$. साहचर्यता:
हम जाँचते हैं कि क्या सभी $a, b, c \in Z^+$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ है।
$a = 2, b = 3, c = 4$ लें।
$(2 ^* 3) ^* 4 = (2^3) ^* 4 = 8 ^* 4 = 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$
$2 ^* (3 ^* 4) = 2 ^* (3^4) = 2 ^* 81 = 2^{81}$
चूँकि $2^{12} \neq 2^{81}$,इसलिए $(2 ^* 3) ^* 4 \neq 2 ^* (3 ^* 4)$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।