माना $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। यदि $a, b \in A$ है और $a * b$ को $ab$ को $7$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $*$ संक्रिया के अंतर्गत $2$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि योग, व्यवकलन और गुणन $R$ पर द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं, लेकिन भाग $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है। इसके अतिरिक्त, सिद्ध कीजिए कि भाग शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

निम्नलिखित में से कौन सा दी गई संक्रिया के सापेक्ष समूह (group) नहीं है?

मान लीजिए कि $*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित कीजिए कि क्या सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = (a - b)^{2}$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है।

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसके लिए औचित्य दीजिए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

मान लीजिए कि $^*$ $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a ^* b = a$ और $b$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) द्वारा दी गई है। ज्ञात कीजिए कि $N$ के कौन से अवयव संक्रिया $^*$ के लिए व्युत्क्रमणीय हैं?