सिद्ध कीजिए कि योग, व्यवकलन और गुणन $R$ पर द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं, लेकिन भाग $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है। इसके अतिरिक्त, सिद्ध कीजिए कि भाग शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

(N/A) समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: S \times S \rightarrow S$ है।
$1$. योग $(+)$ के लिए: किसी भी $a, b \in R$ के लिए, $a+b$ एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है। अतः, $+: R \times R \rightarrow R$ एक द्विआधारी संक्रिया है।
$2$. व्यवकलन $(-)$ के लिए: किसी भी $a, b \in R$ के लिए, $a-b$ एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है। अतः, $-: R \times R \rightarrow R$ एक द्विआधारी संक्रिया है।
$3$. गुणन $(\times)$ के लिए: किसी भी $a, b \in R$ के लिए, $a \times b$ एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है। अतः, $\times: R \times R \rightarrow R$ एक द्विआधारी संक्रिया है।
$4$. भाग $(div)$ के लिए: $a, b \in R$ के लिए, संक्रिया $a \div b = \frac{a}{b}$ तब परिभाषित नहीं है जब $b=0$ हो। चूँकि $0 \in R$, भाग की संक्रिया $R \times R$ से $R$ तक एक फलन नहीं है। अतः, यह $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है।
$5$. $R_*$ (शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) के लिए: किसी भी $a, b \in R_*$ के लिए, $a \neq 0$ और $b \neq 0$ है। भागफल $\frac{a}{b}$ हमेशा एक परिभाषित वास्तविक संख्या है, और चूँकि $a, b \neq 0$, इसलिए $\frac{a}{b} \neq 0$ है। अतः, $\frac{a}{b} \in R_*$ है। इसलिए, भाग $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।