मान लीजिए कि $*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित कीजिए कि क्या सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = (a - b)^{2}$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है।

सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $N$ पर,निम्नलिखित में से कौन सी संक्रिया $*$ एक द्वि-आधारी संक्रिया (binary operation) है?

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है,जो $a * b = a + ab$ के रूप में परिभाषित है। क्या यह संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय और साहचर्य है?

मान लीजिए कि $P$ एक दिए गए समुच्चय $X$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। दर्शाइए कि $(A, B) \rightarrow A \cup B$ द्वारा परिभाषित $\cup: P \times P \rightarrow P$ और $(A, B) \rightarrow A \cap B$ द्वारा परिभाषित $\cap: P \times P \rightarrow P$ समुच्चय $P$ पर द्विआधारी संक्रियाएं हैं।

मान लीजिए कि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। $N$ में $^*$ के लिए तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Z^+$ पर,$a ^* b = a^b$ परिभाषित करें।