मान लीजिए कि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। $N$ में $^*$ के लिए तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,द्वि-आधारी संक्रिया $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ पर विचार करें जो सभी $A, B \in P(X)$ के लिए $A \,^*\, B = A \cap B$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $P(X)$,$X$ का घात समुच्चय है। सिद्ध कीजिए कि $X$ इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव है और $X$ इस संक्रिया के सापेक्ष $P(X)$ में एकमात्र व्युत्क्रमणीय अवयव है।

मान लीजिए कि $*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित करें कि क्या $a, b \in Q$ के लिए $a * b = a + ab$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय है।

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^+$ पर,$*$ को $a * b = |a - b|$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। औचित्य दीजिए: समुच्चय $N$ पर किसी स्वेच्छ द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,सभी $a \in N$ के लिए $a \,^* \,a = a$ होता है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए: यदि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक क्रमविनिमेय (commutative) द्विआधारी संक्रिया है,तो $a ^* (b ^* c) = (c ^* b) ^* a$.