बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। औचित्य दीजिए: समुच्चय $N$ पर किसी स्वेच्छ द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,सभी $a \in N$ के लिए $a \,^* \,a = a$ होता है।

(B) यह कथन असत्य है।
इसे सिद्ध करने के लिए,एक प्रति-उदाहरण (counterexample) पर विचार करें।
मान लीजिए कि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर द्विआधारी संक्रिया $^*$ को $a \,^* \,b = a + b$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $a, b \in N$ है।
अब,एक अवयव $a = 3 \in N$ पर विचार करें।
दी गई शर्त के अनुसार,$3 \,^* \,3 = 3$ होना चाहिए।
हालाँकि,हमारी परिभाषित संक्रिया का उपयोग करने पर,हमें $3 \,^* \,3 = 3 + 3 = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $6 \neq 3$ है,इसलिए $N$ पर सभी द्विआधारी संक्रियाओं के लिए $a \,^* \,a = a$ की शर्त लागू नहीं होती है।
अतः,यह कथन असत्य है।