समूह $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में $\otimes_{7}$ के अंतर्गत,$4 \otimes_{7} x = 5$ का हल क्या है?

हम सभी $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूहों के समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध $\sim$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं: $A \sim B$ यदि और केवल यदि ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ और $Q$ मौजूद हैं कि $B = P A Q^{-1}$। यह द्विआधारी संबंध $\sim$ है

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

समूह $(G, \times_{15})$ में,जहाँ $G = \{3, 6, 9, 12\}$ और $\times_{15}$ गुणन मापांक $15$ है,तत्समक अवयव (identity element) है

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसके लिए औचित्य दीजिए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Q$ पर,$a ^* b = ab + 1$ परिभाषित करें।