સમૂહ $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માં $\otimes_{7}$ હેઠળ,$4 \otimes_{7} x = 5$ નો ઉકેલ શું છે?

ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિ ક્રિયા $\wedge$ ધ્યાનમાં લો,જે $a \wedge b = \min\{a, b\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ક્રિયા $\wedge$ માટેનું ક્રિયા કોષ્ટક લખો.

ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર નીચે આપેલા ગુણાકાર કોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા $*$ ધ્યાનમાં લો. $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5)$ ની ગણતરી કરો.
(સૂચના: નીચે આપેલા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો)

સાબિત કરો કે $a * b = a + 2b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા $*: R \times R \rightarrow R$ જૂથના નિયમનું પાલન કરતી નથી (not associative).

$R$ પર સરવાળાની ક્રિયા '$+$' માટે સાબિત કરો કે $-a$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે અને $a \neq 0$ માટે ગુણાકારની ક્રિયા '$\times$' માટે $\frac{1}{a}$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે.

નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ-ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Q$ પર,$a ^* b = \frac{ab}{2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.