नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Q$ पर,$a ^* b = ab + 1$ परिभाषित करें।

मान लीजिए कि $*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित करें कि क्या सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = a^{2} + b^{2}$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है।

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य दीजिए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = ab$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

द्वि-संक्रियाओं $^*: R \times R \rightarrow R$ और $o: R \times R \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ के रूप में परिभाषित हैं। सिद्ध कीजिए कि $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है,और $o$ साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$। [यदि ऐसा है,तो हम कहते हैं कि संक्रिया $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है]। क्या $o$,$^*$ पर वितरित होता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

$N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ को $a * b = a^{3} + b^{3}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सही उत्तर चुनें।

निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?