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Question

(A) दिया गया है $f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$.सर्वसमिका $\binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i} = \binom{n+p}{p}

Vedclass · Accepted Answer

$A, B, D$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$.सर्वसमिका $\binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i} = \binom{n+p}{p} \binom{n+i}{i}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$f(m, n, p) = \binom{n+p}{p} \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{i} = \binom{n+p}{p} \binom{m+n}{p}$.अतः,$\frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}} = \binom{m+n}{p}$.इस प्रकार $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \binom{m+n}{p} = 2^{m+n}$.विकल्पों की जाँच करने पर:$(A)$ $g(m, n) = 2^{m+n}$ और $g(n, m) = 2^{n+m}$,इसलिए $g(m, n) = g(n, m)$ $TRUE$ है।$(B)$ $g(m, n+1) = 2^{m+n+1}$ और $g(m+1, n) = 2^{m+1+n}$,इसलिए $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ $TRUE$ है।$(C)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n}$ और $2g(m, n) = 2 \cdot 2^{m+n} = 2^{m+n+1}$,इसलिए $g(2m, 2n) 
eq 2g(m, n)$.$(D)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n} = (2^{m+n})^2 = (g(m, n))^2$,इसलिए $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ $TRUE$ है।अतः,सही कथन $A, B, D$ हैं।

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