वास्तविक संख्याओं x, y और z के लिए,यदि x neq | vedclass

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Question

(B) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \ y & y^2 & 1+y^3 \ z & z^2 & 1+z^3\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ को विभाजित क

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$-1$

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(B) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \ y & y^2 & 1+y^3 \ z & z^2 & 1+z^3\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ को विभाजित करने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \ y & y^2 & 1 \ z & z^2 & 1\end{array}ight| + \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \ y & y^2 & y^3 \ z & z^2 & z^3\end{array}ight|=0$ दूसरे सारणिक में,क्रमशः पंक्ति $1, 2, 3$ से $x, y, z$ उभयनिष्ठ लेने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \ y & y^2 & 1 \ z & z^2 & 1\end{array}ight| + xyz \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \ 1 & y & y^2 \ 1 & z & z^2\end{array}ight|=0$ पहले सारणिक के लिए,स्तंभ $3$ को स्तंभ $2$ के साथ,और फिर स्तंभ $2$ को स्तंभ $1$ के साथ बदलने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \ y & y^2 & 1 \ z & z^2 & 1\end{array}ight| = -\left|\begin{array}{ccc}x & 1 & x^2 \ y & 1 & y^2 \ z & 1 & z^2\end{array}ight| = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \ 1 & y & y^2 \ 1 & z & z^2\end{array}ight|$ इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $(1 + xyz) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \ 1 & y & y^2 \ 1 & z & z^2\end{array}ight| = 0$ चूंकि दूसरा सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $1 + xyz = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $xyz = -1$.

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