વિકલ સમીકરણ (x^2 + y^2) dy = xy dx માટે, આપેલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ છે, જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય છે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y

Vedclass · Accepted Answer

$\pm \sqrt{3} e$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ છે, જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય છે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{1}{x} dx$.$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$.$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$.$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies \ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$.આપેલ છે $y(1) = 1$, તેથી $\ln(1) - \frac{1^2}{2(1)^2} = C \implies C = -1/2$.સમીકરણ $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = -1/2$ છે.આપેલ છે $y(x_0) = e$, તેથી $\ln(e) - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2$.$1 - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2 \implies \frac{x_0^2}{2e^2} = 3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ માટે, આપેલ છે કે $y(1) = 1$ અને $y(x_0) = e$, તો $x_0$ નું મૂલ્ય છે

Similar Questions

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ અને પ્રારંભિક શરત $y(1) = 3$ માટે ઉકેલ વક્ર $y = y(x)$ છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$ નો ઉકેલ છે

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ નો ઉકેલ શોધો, જ્યાં $x=\sqrt{3}$ હોય ત્યારે $y=1$ છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module