ઉપવલય $4(x-2y+1)^2 + 9(2x+y+2)^2 = 25$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

એક ઉપવલય (ellipse) ની મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર અને ગૌણ અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે. જો તેના નાભિલંબની લંબાઈ તેની ગૌણ અક્ષની લંબાઈના $\frac{2}{3}$ ગણી હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

એક ઉપવલયમાં $OB$ અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,$S$ અને $S^{\prime}$ નાભિઓ છે અને ખૂણો $\angle SBS^{\prime}$ કાટખૂણો છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

જો રેખા $y=2x+c$ એ વક્ર $x^2+4y^2=4$ ને સ્પર્શતી હોય,તો $c^2=$

એક ઉપવલય $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ જ્યાં $a > b$ એ $x$ અને $y$ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલયના બે નાભિઓ છે અને $O$ એ ઉગમબિંદુ છે જેથી $OF_1 < OF_2$. ધારો કે ત્રિકોણ $OF_1F_2$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

બિંદુ $(1, 1)$ માંથી ઉપવલય $S \equiv x^2 + 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો $m_1, m_2$ $(m_1 > m_2)$ આ સ્પર્શકોના ઢાળ હોય,તો આપેલ ઉપવલયના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(m_1, m_2)$: