दीर्घवृत्त $4(x-2y+1)^2 + 9(2x+y+2)^2 = 25$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $P$ एक परवलय है जिसका शीर्ष $(2,3)$ और नियता $2x+y=6$ है। मान लीजिए एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ जिसकी उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,परवलय $P$ की नाभि से होकर गुजरता है। तो $E$ के नाभिलंब की लंबाई का वर्ग है:

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + (8 - a) = 0$ की उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि इस दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष $Y$-अक्ष के समानांतर है,तो $1$ ढाल वाले इस दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(4,3)$ और दीर्घवृत्त $x^{2}+2y^{2}=4$ पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है,जिसकी उत्केंद्रता है:

एक बिंदु का बिंदु पथ जो इस प्रकार गति करता है कि दो निश्चित बिंदुओं से उसकी दूरियों का योग एक स्थिरांक है,वह है

मान लीजिए कि रेखा $y=mx$ और दीर्घवृत्त $2x^{2}+y^{2}=1$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि इस दीर्घवृत्त के बिंदु $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों को $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ और $(0, \beta)$ पर मिलता है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।