સમીકરણ $\cos^{-1} x + \cos^{-1} 2x + \pi = 0$ માટે,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

કોઈપણ $y \in R$ માટે,ધારો કે $\cot ^{-1}(y) \in(0, \pi)$ અને $\tan ^{-1}(y) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $0 < |y| < 3$ માટે સમીકરણ $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ ના તમામ ઉકેલોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\tan \left[\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\right]+\tan \left[\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\right]$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \cos \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\sin \left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right) + \sin \left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right)$ નો વિસ્તાર $[m, M)$ હોય,તો સમીકરણ $\operatorname{sgn} (|x - 1| - 2) = \ln |x - 2|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધો (જ્યાં $\operatorname{sgn}$ એ સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે).

$x$ ના કેટલા ભિન્ન મૂલ્યો માટે સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ સાચું છે?

જો $k = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})) + \tan(\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3}))$ હોય, તો સમીકરણ $\sin^{-1}(kx-1) = \sin^{-1}x - \cos^{-1}x$ ના ઉકેલોની સંખ્યા . . . . . . છે.