પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $m, n$ માટે,જો $(1-y)^{m}(1+y)^{n}=1+a_{1} y+a_{2} y^{2}+\ldots +a_{m+n} y^{m+n}$ અને $a_{1}=a_{2}=10$ હોય,તો $(m+n)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$1$ થી $10$ નંબર ધરાવતી દસ ટ્રકો ખાંડના પેકેટ લઈ જઈ રહી છે. દરેક પેકેટનું વજન કાં તો $999 \ g$ છે અથવા $1000 \ g$ છે અને દરેક ટ્રક સમાન વજનના પેકેટ લઈ જાય છે. પ્રથમ ટ્રકમાંથી $1$ પેકેટ,બીજી ટ્રકમાંથી $2$ પેકેટ,ત્રીજી ટ્રકમાંથી $4$ પેકેટ,અને આ રીતે દસમી ટ્રકમાંથી $2^9$ પેકેટનું કુલ વજન $1022870 \ g$ છે. કઈ ટ્રકોમાં હલકા પેકેટ છે?

ધારો કે $k \in N$ નું સૌથી નાનું મૂલ્ય $p$ છે, જેના માટે $(1+x)^3 + (1+x)^4 + \dots + (1+x)^{99} + (1+kx)^{100}, x \neq 0$ માં $x^3$ નો સહગુણક કોઈ $n \in N$ માટે $(43n + \frac{101}{4}) ({}^{100}C_3)$ થાય છે. તો $p+n$ નું મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $\lambda$ એ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ નું ધન બીજ છે,અને $n \in N$ માટે $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ લો,જ્યાં $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. ગણ $A = \{ n \in N : a_n \text{ એ સંમેય સંખ્યા છે, પરંતુ પૂર્ણાંક નથી} \}$ અને $B = \{ n \in N : a_n \text{ એ અસંમેય સંખ્યા છે} \}$ ધ્યાનમાં લો. તો:

ધારો કે $C_{r}$ એ $(1+x)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો દ્વિપદી સહગુણક છે. જો $\alpha, \beta \in R$ હોય અને $C_{1}+3 \cdot 2 C_{2}+5 \cdot 3 C_{3}+\ldots$ ($10$ પદો સુધી) $= \frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1} \left( C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots \right.$ ($10$ પદો સુધી) $)$,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

$x > 1$ માટે $(x + \sqrt{x^3 - 1})^6 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^6$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના તમામ યુગ્મ ઘાતવાળા પદોના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?