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Question

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होना चाहिए।$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$ और $\cos x

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$\frac{1}{6}$

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(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x 	o 0} f(x)$ होना चाहिए।$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$ और $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:$\cos(\sin x) = 1 - \frac{(x - x^3/6)^2}{2} + \frac{(x - x^3/6)^4}{24} = 1 - \frac{x^2 - x^4/3}{2} + \frac{x^4}{24} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}$.अब,$f(x) = \frac{(1 - x^2/2 + 5x^4/24) - (1 - x^2/2 + x^4/24)}{x^4} = \frac{4x^4/24}{x^4} = \frac{1}{6}$.अतः,$k = \lim_{x 	o 0} f(x) = \frac{1}{6}$.

दिया गया है,$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$. यदि फलन $f(x) = \frac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4}$ जहाँ $x \neq 0$ और $f(0) = k$,$x = 0$ पर सतत है,तो $k =$

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यदि $x \in (-1, 2)$ के लिए $f(x) = [x]$ है,तो $f$ कहाँ असतत (discontinuous) है? (जहाँ $[x]$ फ्लोर फलन को दर्शाता है)

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sin x}{(\pi-2x)^2} & \text{, यदि } x \neq \frac{\pi}{2} \\ k & \text{, यदि } x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$ को परिभाषित करें। यदि $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $k =$

यदि $f(x) = x\sqrt{1 - [x]^2}$ है,तो (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है):

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