यदि समीकरण $4x^2 + 4(a - 1)x + (1 - 2a) = 0$ के मूल $\sin \theta$ और $\cos \theta$ $(0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ हैं,तो $(a + \sin \theta)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$x$ में एक द्विघात समीकरण को हल करते समय,एक छात्र ने इसके अचर पद को गलत तरीके से लिखा और इसके मूल $5$ और $9$ प्राप्त किए। दूसरे छात्र ने उसी समीकरण के अचर पद और $x^2$ के गुणांक को क्रमशः $12$ और $4$ के रूप में सही ढंग से लिखा। यदि $s$,$p$ और $\Delta$ क्रमशः सही समीकरण के मूलों का योग,मूलों का गुणनफल और विविक्तकर (discriminant) को दर्शाते हैं,तो $\frac{\Delta}{3p+s}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $x$ एक वास्तविक संख्या है। निम्नलिखित का मिलान करें:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $2x^2 + 4x + 5$ का न्यूनतम मान	$(I)$ $-1$
$(B)$ $\frac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x + 1}$ का अधिकतम मान	$(II)$ $1$
$(C)$ यदि $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$, $\forall x \in [a, b]$ तब $b =$	$(III)$ $2$
$(D)$ यदि $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$, $\forall x \in [a, b]$ तब $a =$	$(IV)$ $3$
	$(V)$ $4$

मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - x + p = 0$ के मूल हैं और $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2 - 4x + q = 0$ के मूल हैं। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ एक $G.P.$ में हैं,तो $p, q$ के पूर्णांक मान क्रमशः क्या होंगे?

एक घनाभ के प्रत्येक फलक पर,उसकी परिधि और उसके क्षेत्रफल का योग लिखा गया है। इस प्रकार लिखी गई छह संख्याओं में से तीन अलग-अलग संख्याएँ $16, 24$ और $31$ हैं। घनाभ का आयतन किसके बीच स्थित है?

यदि समीकरण $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ के दो मूलों का योग $\frac{5}{2}$ है,तो समीकरण के सभी अवास्तविक मूलों का योग क्या होगा?