यह दिया गया है कि प्रत्येक $a \in (0,1)$ के लिए,सीमा $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का अस्तित्व है। इसके अतिरिक्त,यह दिया गया है कि फलन $g(a)$ अंतराल $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ और $2$ के लिए सही युग्म चुनें।

माना $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. तो $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \min \{[x-1], [x-2], \ldots, [x-10]\}$ जहाँ $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से छोटा या उसके बराबर है। तो $\int_{0}^{10} f(x) \, dx + \int_{0}^{10} (f(x))^2 \, dx + \int_{0}^{10} |f(x)| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $F: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $F(1)=0, F(3)=-4$ और सभी $x \in (1/2, 3)$ के लिए $F^{\prime}(x) < 0$ है। मान लीजिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x F(x)$ है।
$1.$ सही कथन है(हैं):
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{किसी भी }x \in (1,3) \text{के लिए }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ कुछ $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ यदि $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ और $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो सही व्यंजक है(हैं):
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

यदि $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?