माना f(theta) = sin theta + int_{-pi / 2}^{pi | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(	heta) = \sin 	heta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin 	heta + t \cos 	heta) f(t) dt$.इसे हम $f(	heta) = \sin 	heta + \sin 	h

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(D) दिया गया है $f(	heta) = \sin 	heta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin 	heta + t \cos 	heta) f(t) dt$.इसे हम $f(	heta) = \sin 	heta + \sin 	heta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt + \cos 	heta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$ के रूप में लिख सकते हैं।माना $A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt$ और $B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$.तब $f(	heta) = (A + 1) \sin 	heta + B \cos 	heta$.अब,$A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ की गणना करते हैं। चूंकि $\sin t$ एक विषम फलन है,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin t dt = 0$. अतः,$A = B \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos t dt = B [\sin t]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = 2B$.आगे,$B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ की गणना करते हैं। चूंकि $t \cos t$ एक विषम फलन है,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \cos t dt = 0$. अतः,$B = (A + 1) \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \sin t dt = (A + 1) \cdot 2 \int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \cos t dt = 0 + [\sin t]_{0}^{\pi / 2} = 1$.अतः,$B = 2(A + 1)$.$A = 2B$ को $B = 2(2B + 1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = 4B + 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $3B = -2$,इसलिए $B = -2/3$ और $A = -4/3$.तब $f(	heta) = (-4/3 + 1) \sin 	heta - (2/3) \cos 	heta = -1/3 \sin 	heta - 2/3 \cos 	heta$.अंत में,$\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(	heta) d	heta ight| = \left| \int_{0}^{\pi / 2} (-1/3 \sin 	heta - 2/3 \cos 	heta) d	heta ight| = \left| [-1/3(-\cos 	heta) - 2/3 \sin 	heta]_{0}^{\pi / 2} ight| = \left| [1/3 \cos 	heta - 2/3 \sin 	heta]_{0}^{\pi / 2} ight| = \left| (0 - 2/3) - (1/3 - 0) ight| = \left| -2/3 - 1/3 ight| = |-1| = 1$.

माना $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. तो $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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