यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,जहाँ $n$ एक अऋण पूर्णांक है। तो,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. तो $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

स्तंभ $I$ में दिए गए समाकलों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

$x, t \in R$ के लिए,मान लीजिए $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ चर गुणांकों वाले $x$ में द्विघात बहुपदों का एक परिवार है। मान लीजिए $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I$. सभी $t$ के लिए $A(t) < 0$ है।
$II$. $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिंदु हैं।
$III$. अनंत $t$ के लिए $A(t) = 0$ है।
$IV$. सभी $t$ के लिए $A'(t) < 0$ है।