यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

माना $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ सभी $x \in (1, \infty)$ के लिए।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g$,$(1, \infty)$ पर वर्धमान है
$(B)$ $g$,$(1, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(C)$ $g$,$(1,2)$ पर वर्धमान और $(2, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(D)$ $g$,$(1,2)$ पर ह्रासमान और $(2, \infty)$ पर वर्धमान है
$2.$ कथनों पर विचार करें:
$P$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $2f(x)+1=2x(1+x)$
तब
$(A)$ $P$ और $Q$ दोनों सत्य हैं
$(B)$ $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है
$(C)$ $P$ असत्य है और $Q$ सत्य है
$(D)$ $P$ और $Q$ दोनों असत्य हैं
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f'(x) = f(x)$ और $f(0) = 1$ को संतुष्ट करता है और $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x) + g(x) = x^2$ को संतुष्ट करता है। समाकलन $\int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $F: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $F(1)=0, F(3)=-4$ और सभी $x \in (1/2, 3)$ के लिए $F^{\prime}(x) < 0$ है। मान लीजिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x F(x)$ है।
$1.$ सही कथन है(हैं):
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{किसी भी }x \in (1,3) \text{के लिए }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ कुछ $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ यदि $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ और $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो सही व्यंजक है(हैं):
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\begin{cases} [x], & x \leq 2 \\ 0, & x>2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $[x]$,$x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $I=\int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ है,तो $(4I-1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।