ધારો કે f(theta) = sin theta + int_{-pi / 2}^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $f(	heta) = \sin 	heta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin 	heta + t \cos 	heta) f(t) dt$.આને $f(	heta) = \sin 	heta + \sin 	heta \in

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $f(	heta) = \sin 	heta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin 	heta + t \cos 	heta) f(t) dt$.આને $f(	heta) = \sin 	heta + \sin 	heta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt + \cos 	heta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$ તરીકે લખી શકાય.ધારો કે $A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt$ અને $B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$.તેથી $f(	heta) = (A + 1) \sin 	heta + B \cos 	heta$.હવે,$A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ ની ગણતરી કરીએ. $\sin t$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin t dt = 0$. તેથી,$A = B \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos t dt = B [\sin t]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = 2B$.આગળ,$B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ ની ગણતરી કરીએ. $t \cos t$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \cos t dt = 0$. તેથી,$B = (A + 1) \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \sin t dt = (A + 1) \cdot 2 \int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \cos t dt = 0 + [\sin t]_{0}^{\pi / 2} = 1$.તેથી,$B = 2(A + 1)$.$A = 2B$ ને $B = 2(2B + 1)$ માં મૂકતા,આપણને $B = 4B + 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3B = -2$,તેથી $B = -2/3$ અને $A = -4/3$.તેથી $f(	heta) = (-4/3 + 1) \sin 	heta - (2/3) \cos 	heta = -1/3 \sin 	heta - 2/3 \cos 	heta$.અંતે,$\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(	heta) d	heta ight| = \left| \int_{0}^{\pi / 2} (-1/3 \sin 	heta - 2/3 \cos 	heta) d	heta ight| = \left| [-1/3(-\cos 	heta) - 2/3 \sin 	heta]_{0}^{\pi / 2} ight| = \left| [1/3 \cos 	heta - 2/3 \sin 	heta]_{0}^{\pi / 2} ight| = \left| (0 - 2/3) - (1/3 - 0) ight| = \left| -2/3 - 1/3 ight| = |-1| = 1$.

ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. તો $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx + \int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $m \in Z^{+}$,$n=2m$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ હોય,તો $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module