ધારો કે a, b, c શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$.આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$.આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^2 f(x) \, dx - \int

Vedclass · Accepted Answer

$(0, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$.આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$.આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^2 f(x) \, dx - \int_0^1 f(x) \, dx = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\int_1^2 f(x) \, dx = 0$ થાય છે.કારણ કે $f(x)$ એ સતત વિધેય છે અને અંતરાલ $(1, 2)$ પર તેનું સંકલન શૂન્ય છે,તેથી $f(x)$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં ચિહ્ન બદલવું જ જોઈએ,સિવાય કે તમામ $x \in (1, 2)$ માટે $f(x) = 0$ હોય.$a, b, c$ શૂન્યતર હોવાથી,$ax^2 + bx + c$ એ શૂન્ય નથી. વળી,તમામ $x$ માટે $(1 + \cos^8 x) \ge 1 > 0$ છે.તેથી,$f(x)$ એ $(1, 2)$ માં ધન અને ઋણ બંને કિંમતો લેવી જ જોઈએ.ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક $x_0$ એવો મળે કે જેથી $f(x_0) = 0$ થાય.કારણ કે $(1 + \cos^8 x) 
eq 0$,તેથી $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ થવું જ જોઈએ.તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે,જે $(0, 2)$ માં સમાવિષ્ટ છે.

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

Similar Questions

જો ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ હોય,તો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n \in N$):

ધારો કે $f^{\prime}(x)=\frac{192 x^3}{2+\sin ^4 \pi x}$ બધા $x \in R$ માટે,જ્યાં $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ છે. જો $m \leq \int_{1 / 2}^1 f(x) d x \leq M$ હોય,તો $m$ અને $M$ ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?

ધારો કે $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ અને $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. તો:

જો $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ હોય,તો અચળાંકો $A$ અને $B$ અનુક્રમે શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module