यदि $f(x) = x(x-1)(x-2)$ के लिए अंतराल $x \in [0, 1/2]$ पर $L.M.V.T.$ सत्य है,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।

सभी $x > e$ के लिए $\left[ \frac{\log (x/e)}{x - e} \right]$ का मान क्या होगा? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।)

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$। यदि $a = 0$,$b = \frac{1}{2}$ और $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

सभी $x \in [0, 2024]$ के लिए,मान लीजिए कि $f(x)$ अवकलनीय है,$f(0) = -2$ और $f^{\prime}(x) \geq 5$ है। तो $f(2024)$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद $g(x)$ के लिए,$m_g$ को $g(x)$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $S$ वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का एक समुच्चय है जिसे $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। बहुपद $f$ के लिए,$f'$ और $f''$ क्रमशः इसके प्रथम और द्वितीय क्रम के अवकलज को दर्शाते हैं। तब $(m_f + m_{f'})$ का न्यूनतम संभव मान,जहाँ $f \in S$,क्या है?

यदि $a, b, c \in \mathbb{R}$ और $3a + 5b + 15c = 0$ को संतुष्ट करते हैं,तो समीकरण $ax^4 + bx^2 + c = 0$ के पास: