यदि f(a + b - x) = f(x) है,तो int_{a}^{b} x f | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{a}^{b} x f(x) dx$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{a}^{b} (a+b-x) f

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$\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{a}^{b} x f(x) dx$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{a}^{b} (a+b-x) f(a+b-x) dx$चूंकि $f(a+b-x) = f(x)$,समाकलन इस प्रकार होगा:$I = \int_{a}^{b} (a+b-x) f(x) dx$समाकलन का विस्तार करने पर:$I = (a+b) \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} x f(x) dx$समीकरण $(1)$ से $I$ का मान रखने पर:$I = (a+b) \int_{a}^{b} f(x) dx - I$दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर:$2I = (a+b) \int_{a}^{b} f(x) dx$$2$ से भाग देने पर:$I = \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx$अतः,सही विकल्प $C$ है.

यदि $f(a + b - x) = f(x)$ है,तो $\int_{a}^{b} x f(x) dx$ किसके बराबर है?

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$\int\limits_0^\pi (x \cdot \sin^2 x \cdot \cos x) dx =$

यदि ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}\theta \,d\theta }$ है,तो ${I_8} + {I_6}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x \cos x} dx = \frac{1}{a} \log_e\left(\frac{a}{3}\right) + \frac{\pi}{b \sqrt{3}}$,जहाँ $a, b \in N$,तो $a+b$ का मान .................... है।

$\int_0^{\pi / 2} |\sin t - \cos t| \, dt =$

यदि $b = \int_{0}^{1} \frac{e^{t}}{t+1} dt$ है, तो $\int_{a-1}^{a} \frac{e^{-t}}{t-a-1} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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