यदि $A$ और $G$ दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः $A.M.$ और $G.M.$ हैं,तो सिद्ध कीजिए कि वे संख्याएँ $A \pm \sqrt{(A + G)(A - G)}$ हैं।

यह दिया गया है कि $A$ और $G$ दो धनात्मक संख्याओं के बीच $A.M.$ और $G.M.$ हैं।
माना ये दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$\therefore A.M. = A = \frac{a+b}{2}$ .........$(1)$
$G.M. = G = \sqrt{ab}$ .........$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$a+b = 2A$ .........$(3)$
$ab = G^2$ .........$(4)$
हम जानते हैं कि $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
$(3)$ और $(4)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2 = 4A^2 - 4G^2 = 4(A^2 - G^2)$
$(a-b)^2 = 4(A+G)(A-G)$
$(a-b) = 2\sqrt{(A+G)(A-G)}$ .........$(5)$
$(3)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$2a = 2A + 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow a = A + \sqrt{(A+G)(A-G)}$
$(3)$ में से $(5)$ को घटाने पर:
$2b = 2A - 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow b = A - \sqrt{(A+G)(A-G)}$
अतः,वे दो संख्याएँ $A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)}$ हैं।